[Titre:] [Les composantes de l'apprentissage en action: les modèles] [La Dre CATHY FOSNOT, également auteure et conférencière sur l'apprentissage des mathématiques, apparaît dans un décor vide.] [CATHY FOSNOT:] [Propos traduits de l'anglais] Le troisième domaine absolument indispensable à un mathématicien, c'est la modélisation. Est-il possible de modéliser le contenu de ce problème de manière à en dégager certains éléments intéressants? Puis, est-il possible d'isoler certains de ces éléments pour résoudre le problème? [Texte informatif:] [Les mathématiques ne sont pas dans le modèle à l'étude. Les mathématiques ne sont pas dans l'esprit de l'enfant.] [Une élève résout un problème sur un tableau, à l'avant de ses camarades de classe.] [CATHY FOSNOT:] [Narratrice] [Propos traduits de l'anglais] Les mathématiques ne sont pas visibles sous forme de modèle, elles existent dans la tête de l'enfant. On ne peut pas montrer une image à l'enfant et s'attendre à ce qu'il y voit des mathématiques. [CATHY reprend la parole.] [CATHY FOSNOT:] [Propos traduits de l'anglais] Le choix de modèle que l'on fait est extrêmement important pour les mathématiques, car tous les modèles ne se valent pas. [En classe, des élèves tentent de résoudre un problème mathématique en faisant un dessin.] [CATHY FOSNOT:] [Narratrice] [Propos traduits de l'anglais] Un modèle puissant doit avoir le potentiel de devenir, au fil du temps, un bon outil de réflexion. [CATHY reprend la parole.] [CATHY FOSNOT:] [Propos traduits de l'anglais] Pour un mathématicien, bien modéliser, c'est choisir un modèle, puis s'en servir pour modéliser les relations, pour approfondir les questions. Il devient alors un puissant outil de réflexion. Il ne s'agit pas seulement de résoudre un problème et de présenter visuellement la solution. [Texte narratif:] [Choisissez 3 sortes de truffes et déterminez le nombre de boîtes dont Patricio aura besoin s'il y a 10 truffes dans chaque boîte. Combien de boîtes de truffes assorties peut-il faire? 218 truffes aux framboises. 132 truffes aux fraises. 174 truffes au chocolat noir. 83 truffes à la vanille avec cannelle et muscade. 126 truffes vertes avec des pistaches. 308 truffes avec pacanes et caramel. 97 truffes croustillantes au caramel écossais enrobées de chocolat au lait. 22 truffes avec des tourbillons de chocolat blanc et noir. 44 truffes aux cerises enrobées de chocolat. 46 truffes aux amandes et aux raisins.] [Dans une salle de classe, des élèves tentent de résoudre un problème mathématique.] [Texte narratif:] [Compter par intervalles] [GARÇON:] [Propos traduits de l'anglais] J'écris comment j'ai compté par bonds. [PROFESSEURE:] [Propos traduits de l'anglais] Jusqu'à quoi? [GARÇON:] [Propos traduits de l'anglais] J'ai compté par bonds jusqu'à 100. [Le GARÇON écrit des chiffres sur une feuille.] [PROFESSEURE:] [Propos traduits de l'anglais] Et à quoi servent les nombres? Pourquoi écris-tu ça? [GARÇON:] [Propos traduits de l'anglais] Parce qu'ils montrent combien j'en ai compté. [Texte narratif:] [Suivre deux quantités en même temps] [PROFESSEURE:] [Propos traduits de l'anglais] Compté quoi? [GARÇON:] [Propos traduits de l'anglais] Combien de cases j'ai comptées, donc de combien de multiplications j'ai eu besoin. [En animation, un tableau à deux rangées apparaît. La première rangée indique le nombre de boîtes, de 1 à 10, et la deuxième rangée indique le nombre de truffes. Le nombre de truffes est obtenu en multipliant le nombre de boîtes par 10.] [CATHY FOSNOT:] [Narratrice] [Propos traduits de l'anglais] Tout cela nous donne aisément une représentation de modèle sur une table de valeurs. L'introduction de la table de valeurs, c'est un modèle important. [CATHY reprend la parole.] [CATHY FOSNOT:] [Propos traduits de l'anglais] Il est absolument essentiel de commencer à présenter certains modèles à certains stades de développement. Il faut leur donner l'occasion de déterminer quel modèle convient à quel problème. [Dans la classe, une fillette fait un calcul en faisant un dessin.] [Texte narratif:] [Créer une matrice] [FILLETTE:] [Propos traduits de l'anglais] Alors, chaque ligne vaut 100. Donc, j'ai fait 3 lignes de cases, ce qui équivaut... ce qui équivaut à 300 et il reste 8. [CATHY reprend la parole.] [CATHY FOSNOT:] [Propos traduits de l'anglais] N'oublions pas que la mathématisation, c'est la modélisation mathématique du monde. [Plusieurs enseignants se rencontrent dans une salle de réunion.] [ENSEIGNANTE:] [Propos traduits de l'anglais] Je crois que nous devons prêter un peu plus attention aux modèles et aux outils de réflexion. C'est ce qui a conduit à notre échec la dernière fois. Nous avons anticipé les mathématiques, mais pas l'utilisation du modèle ou des outils. [Texte narratif:] [Des images rapides] [En animation, des images composées de cadres à 5 et 10 cases munis de points apparaissent, illustrant les propos du NARRATEUR.] [NARRATEUR:] [Propos traduits de l'anglais] Pour présenter le tableau de modélisation de la multiplication et des produits partiels, le groupe a décidé d'utiliser les images simples de nombres apparentés de Cathy Fosnot pour l'activité de réflexion. On a montré aux élèves une série d'images composées de cadres à 5 à 10 cases l'une après l'autre, et on leur a demandé de déterminer le nombre de points présents et d'expliquer comment ils ont obtenu le résultat. On a utilisé des cadres à 5 et à 10 cases pour que les élèves puissent utiliser des repères de 5 et de 10. On a disposé les lignes sous forme de tableau de manière à les encourager à utiliser différentes stratégies, comme la multiplication, et on a choisi l'ordre des séries pour que les élèves puissent s'appuyer sur les précédentes solutions. [La réunion entre enseignants se poursuit.] [ENSEIGNANTE 2:] [Propos traduits de l'anglais] Lorsque vous faites les nombres apparentés, vous modélisez ce à quoi ressemblera l'image: la représentation dans les cadres à 10 cases et à 5 cases. Quand les élèves vous expliquent leur stratégie, vous pouvez commencer par leur montrer comment faire. Mais à la fin, il vous faudra vous mettre en retrait pour qu'ils vous disent quel modèle ils utilisent pour bien décrire leur cheminement pensé. [Dans une classe, MADAME ZARA et un autre enseignant donnent un cours de mathématiques à de jeunes élèves. MADAME ZARA dessine des cadres de 5 à 10 cases sur le tableau.] [MADAME ZARA:] [Propos traduits de l'anglais] Donc, nous avons fait 1... [ENSEIGNANT:] [Propos traduits de l'anglais] Fois... [MADAME ZARA:] [Propos traduits de l'anglais] Fois 5. [ENSEIGNANT:] [Propos traduits de l'anglais] Fois 5. [S'adressant aux élèves] Madame Zara a mis des nombres ici. Quels chiffres mettriez-vous ici? [FILLETTE 2:] [Propos traduits de l'anglais] 2 et 5. [ENSEIGNANT:] [Propos traduits de l'anglais] Où placerais-tu le 2? [FILLETTE 2:] [Propos traduits de l'anglais] À côté. [ENSEIGNANT:] [Propos traduits de l'anglais] Et où placerais-tu le 5? [FILLETTE 2:] [Propos traduits de l'anglais] En haut. [ENSEIGNANT:] [Propos traduits de l'anglais] Très bien. Intéressant. OK. [MADAME ZARA:] [Propos traduits de l'anglais] Pourquoi? Pourquoi ferais-tu ça? [FILLETTE 2:] [Propos traduits de l'anglais] Parce que 1 sur le côté. [MADAME ZARA:] [Propos traduits de l'anglais] OK. [FILLETTE 2:] [Propos traduits de l'anglais] Tu ajoutes 2 de ceux-ci. [MADAME ZARA:] [Propos traduits de l'anglais] Il y a 2 qui descendent et combien y a-t-il comme cela? [FILLETTE 2:] [Propos traduits de l'anglais] 5. [MADAME ZARA:] [Propos traduits de l'anglais] OK. [FILLETTE 2:] [Propos traduits de l'anglais] Et puisqu'il a mis un 2 et un 5, ça m'a rappelé 2 x 5. [La réunion entre enseignants se poursuit. MADAME ZARA prend la parole devant le groupe.] [MADAME ZARA:] [Propos traduits de l'anglais] C'est amusant parce que les nombres apparentés sont évidemment liés à la question, mais l'important est de voir comment les enfants les utilisent dans ce cas. Généralement, c'est ce que l'on fait avant que leurs connaissances soient directement liées à ça. Il peut y avoir un lien. Il devrait y en avoir un. Mais dans de nombreux cas, il peut ne pas y en avoir. [ENSEIGNANTE 2:] [Propos traduits de l'anglais] Oui, vous avez raison. [MADAME ZARA:] [Propos traduits de l'anglais] Ils peuvent ne pas comprendre les groupes de 10 et l'écrire sur leur feuille. Notre questionnement doit alors nous permettre de répondre à cette situation. [Texte narratif:] [Dans la consolidation, quelles questions pourriez-vous poser pour connecter les tableaux dans les images rapides au problème?]