[Musique] Narrateur : La disposition rectangulaire est une structure visuelle qui utilise la relation entre les lignes et les colonnes pour aider les élèves à dégager le sens de la multiplication et de la division. Avant de commencer à résoudre le problème, les élèves sont amenés à découvrir les dispositions rectangulaires qui constituent leur environnement. Enseignante #1 : Vous préparez 48 biscuits pour l’anniversaire de votre ami. Quelles sont les différentes façons de placer les biscuits dans le rectangle? Ok? Et pour faire ça, j’ai nos rondelles de bois, alors vous pouvez les utiliser. Je vous laisse aussi des feuilles et des feutres pour que vous puissiez me montrer comment vous pensez. Comme je vous dis toujours, d’accord? Montrez-moi comment vous pensez. Narrateur : Ce problème demande indirectement aux élèves de déterminer les facteurs du nombre 48. Avec l’utilisation de la disposition rectangulaire, les élèves sont face à des concepts mathématiques importants en multiplication. Voyons cela de plus près. Élève #1 : Quatre groupes de 12, ou 12 groupes de 4. Narrateur : Avec les dispositions rectangulaires , un concept important devient plus concret aux yeux des élèves : la commutativité de la multiplication. Pour les élèves, 48 est aussi bien représenté par 4 groupe de 12 que par 12 groupes de 4. Ensuite, ils appliquent le concept à 6 groupes de 8 et 8 groupes de 6. Élève #2 : 8 et 6. Le 8 prend la place de 6, et le 6 vient ici, parce que le 8 devient la colonne et le 6 devient la ligne. Enseignante #2 : Et qu’est-ce qui arrive quand tu inverses les chiffres? Élève #2 : 8 prend la place des lignes, et 6 des colonnes. Et après, on tourne le rectangle, on le retourne comme ça. Oui, comme Maya fait. Alors, on a toujours la même réponse, mais la forme du rectangle a changé. Narrateur : Ces filles ont aussi démontré la relation de la commutativité de la multiplication, mais ils y ont ajouté un concept important, la relation inverse entre la multiplication et la division. Élève #3 : Alors ici, on a 6 rangées de 8. Dans chaque rangée, il y a 8 biscuits, ce qui donne 48. Ensuite, on a fait l’inverse, 8 rangées de 6, ce qui donne aussi 48. Cela nous donne aussi une équation de division, 48 divisé par 8 donne 6, et 48 divisé par 6 donne 8. Narrateur : D’autres élèves ont utilisé une stratégie d’addition et de doublage. Cathy Fosnot nous explique en quoi cela est significatif. Cathy Fosnot : Généralement, lorsque les enfants commencent à penser à doubler, par exemple, je sais que 1 fois 15 c’est 15, donc 2 fois 15, c’est le double. Je peux aller directement à 4 fois 15, parce que je sais que c’est le double de deux fois 15. Et après je peux faire 8 fois 15, parce que je sais que c’est le double de 4 fois 15. Je ne multiplie plus, je double. Narrateur : Observez comment les élèves utilisent la stratégie de doublage et de division en deux pour passer d’un rectangle de 8 par 6 à 16 par 3. Élève #1 : J’ai obtenu 16 parce que j’ai doublé le 8, 8 plus 8 donne 16. Après, je ne pouvais pas doubler le 6, parce que ça ne donnerait plus 48. Je devais plutôt le diviser en deux, donc 3. C’est comme ça que j’ai fait 3 groupes de 16. Narrateur : La disposition rectangulaire est bien plus qu’un simple moyen de résoudre un problème ou communiquer une solution. C’est un modèle puissant qui révèle les stratégies de multiplication auxquelles les élèves font appel, et en même temps, cela leur permet de faire face à des concepts mathématiques importants qui leur seront utiles toute leur vie. Cathy Fosnot : Cela permet de bien représenter un modèle dans un rectangle de proportionnalité, ce que les enseignants de niveau secondaire aimeraient, à ma connaissance, que les enseignants du primaire enseignent, parce que ce n’est que plus tard, en enseignant les fonctions et les fonctions linéaires, que l’on introduit la disposition rectangulaire. C’est un modèle important pour l’algèbre. Lorsque les enfants font des produits partiels, c’est bien de le représenter à l’aide d’un rectangle, parce qu’il permet de visualiser ce que sont les produits partiels, ce qui permettra éventuellement d’introduire l’algèbre. C’est un autre exemple de la propriété distributive, ce que vous amènent à conceptualiser les produits partiels. Doubler ou diviser en deux, quadrupler, diviser par quarts. En réalité, ce que vous faites, c’est d’associer les facteurs différemment, et cela vous mène à la propriété associative. Ce dont je vous parle, c’est la fondation nécessaire à l’apprentissage de l’algèbre. Et c’est sur quoi nous devons nous concentrer au niveau primaire. Ce ne sont pas seulement des processus isolés. Narrateur : À partir de ce que nous a partagé Cathy Fosnot, que pouvez-vous nous dire de vos expériences et de votre compréhension? Quels sont vos questionnements? [Musique]